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Thèse réalisé à l'UVSQ, au sein du laboratoire LMV, sous la direction de Mokkadem Abdelkader et de Mariane Pelletier.

Titre de la thèse:

Application des méthodes d'approximation stochastiques à l'estimation de la densité et de la régression

Résumé :

L'objectif de cette thèse est d'appliquer les méthodes d'approximation stochastique à l'estimation de la densité et de la régression.

Dans le premier chapitre, nous construisons un algorithme stochastique à pas simple qui définit toute une classe d'estimateurs récursifs à noyau d'une densité de probabilité. Nous étudions les différentes propriétés de cet algorithme. Nous montrons en particulier que les deux estimateurs récursifs à noyau déjà connus correspondent à deux éléments bien particuliers de la classe d'estimateurs définis par notre algorithme stochastique: l'estimateur récursif introduit par Wolwerton et Wagner (1969) correspond à un choix de pas de l'algorithme qui permet d'obtenir un risque quadratique minimal, tandis que celui introduit par Duflo (1997) correspond à un choix de pas qui permet d'obtenir une variance minimale.

Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à l'estimateur proposé par Révész (1973, 1977) pour estimer une fonction de régression r:x->E[Y|X=x]. Son estimateur r_n, construit à l'aide d'un algorithme stochastique à pas simple, a un gros inconvénient: les hypothèses sur la densité marginale de X nécessaires pour établir la vitesse de convergence de r_n sont beaucoup plus fortes que celles habituellement requises pour étudier le comportement asymptotique d'un estimateur d'une fonction de régression. Nous montrons comment l'application du principe de moyennisation des algorithmes stochastiques permet, tout d'abord en généralisant la définition de l'estimateur de Révész, puis en moyennisant cet estimateur généralisé, de construire un estimateur récursif qui possède de bonnes propriétés asymptotiques.

Dans le troisième chapitre, nous appliquons à nouveau les méthodes d'approximation stochastique à l'estimation d'une fonction de régression. Mais cette fois, plutôt que d'utiliser des algorithmes stochastiques à pas simple, nous montrons comment les algorithmes stochastiques à pas doubles permettent de construire toute une classe d'estimateurs récursifs d'une fonction de régression, et nous étudions les propriétés asymptotiques de ces estimateurs. Cette approche est beaucoup plus simple que celle du deuxième chapitre: les estimateurs construits à l'aide des algorithmes à pas doubles n'ont pas besoin d'être moyennisés pour avoir les bonnes propriétés asymptotiques.

Bernard Bercu (Rapporteur) Marie Duflo (Présidente) Mokkadem Abdelkader (Directeur de thèse) Mariane Pelletier (Co-Directrice de thèse) Jean-Michel Poggi (Rapporteur)

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