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La théorie des représentations des groupes est un analogue non commutatif de la théorie de Fourier. Depuis sa naissance, à la fin du dix-neuvième siècle, cette théorie ne cesse de se développer, avec des applications dans différents domaines des mathématiques et de la physique. Ce cours traite le cas des groupes finis où les concepts de base de la théorie sont déjà présents. Il est conçu comme une préparation au cours de second niveau sur les représentations des groupes p-adiques, mais peut être utile aux futurs agrégatifs. Aucun prérequis, à part les fondements de l'algèbre linéaire, n'est nécessaire pour suivre ce cours.
Plan du cours : - Généralités sur les représentations. - Irréductibilité, lemme de Schur, décomposition des représentations. - Caractères, relations d'orthogonalité, table des caractères, exemples en petits cardinaux. - Transformation de Fourier, algèbre de groupe. - Construction de représentations : induction, restriction. - Représentations du groupe symétrique et de GL(2, Fq). - Théorie de Clifford-Mackey, représentations projectives. - Propriétés arithmétiques des représentations, théorème de Burnside.
Bibliographie :Définition et étude d'un point de vue topologique des corps localement compacts non archimédiens de caractéristique quelconque (extensions finies de Qp ou bien de Fq[[X]]) : Valuations, valeurs absolues et complétions. Théorème d'Ostrowski et son pendant en caractéristique positive. Mesures de Haar sur le groupe additif et le groupe multiplicatif.
Arithmétique des extensions finies de corps locaux : - Prolongement d'une valuation. - Ramification. Extensions non ramifiées et totalement ramifiées, degré de ramification et d'inertie. Groupe de Galois d'une extension non ramifiée. - Norme, trace, filtrations, différentes, extensions modérément ramifiées. - Groupes de ramification (filtration du groupe de Galois). Théorème de Herbrand.
Construction du groupe de Weil d'un corps local et introduction à la théorie du corps de classes local (si le temps le permet).
Bibliographie :La « Philosophie de Langlands » est un vaste faisceau de conjectures reliant les représentations complexes de divers groupes algébriques et de Galois. Ces correspondances ont une signification arithmétique profonde reliant formes automorphes, variétés arithmétiques et groupes de Galois. Elles sont démontrées dans un certain nombre de cas, mais beaucoup reste à faire. Même lorsqu'elles sont démontrées, des versions effectives ne sont pas toujours disponibles. Récemment, on s'intéresse aussi à des versions modulaires (espaces vectoriels de représentations sur la clôture algébrique d'un corps fini).
L'objectif de ce cours de 60 heures est une introduction à ces correspondances dans le cadre du groupe GL(N,F) d'un corps local F non archimédien. Il s'agit d'abord de définir et étudier les objets de base : représentations lisses du groupe GL(N,F) d'un côté, et représentations de dimension N du groupe de Weil de l'autre (une variante du groupe de Galois). Pour des raisons techniques, seul le cas N=2 sera entièrement explicité. Il s'agit ensuite de construire des invariants de représentations, les facteurs L et Epsilon et d'énoncer la correspondance qui s'exprime par la préservation de ces invariants.
Le cours sera basé sur la monographie « The local Langlands conjecture for GL(2) » de C.J. Bushnell et G. Henniart.
Il pourra déboucher sur un encadrement de thèse de doctorat.
Bibliographie :La modélisation mathématique et le calcul scientifique interviennent de manière essentielle dans des disciplines comme la physique, les sciences de l'ingénieur ou les sciences du vivant. L'objectif de ce cours est l'introduction à certaines des méthodes fondamentales en calcul scientifique ainsi qu'à leur analyse numérique, en vue de leur application à d'autres disciplines.
Plan de cours : analyse numérique matricielle - résolution de systèmes d'équations non linéaires - résolution numérique des équations différentielles - étude qualitative de systèmes différentiels autonomes - optimisation - introduction aux différences finies.
Ce cours est aussi un complément indispensable pour les élèves souhaitant préparer l'épreuve d'oral de modélisation à l'agrégation externe de mathématiques (option calcul scientifique). Le cours sera complété par des exercices et des TP en SCILAB.
Bibliographie :On définit les espaces affines de dimension finie, et on étudie les propriétés usuelles de ces espaces, retrouvant ainsi le cadre usuel de la géométrie. Dans le cas particulier des espaces affines euclidiens, on se consacre ensuite à l'étude des ensembles convexes qui ont des applications à la fois en algèbre, en géométrie, et en analyse.
Mot clé : Structure d'espaces affines - Bases affines - Applications affines - Groupe affine - Théorème fondamental de la géométrie affine - Espaces affines euclidiens - Problèmes de distance - Isométries - Générateurs du gropue des isométries - Etude en dimension 2 et en dimension 3 - Barycentres et convexité - Enveloppe convexe, théorème de Hahn-Banach - Hyperplans d'appui - Points extémaux, théorème de Krein-Milman - Théorème de Helly et applications.
Bibliographie :