Rencontre Algèbre Poitiers Tours (RAPT)

Tours, le 4 mars 2011

Résumé des exposés

À la fin des années 1990, Jean-Louis Loday a introduit un nouveau type d'algèbres, qu'il a nommé les algèbres dendriformes, et a décrit les algèbres dendriformes libres en utilisant les arbres binaires plans. Dans les années 1960, Dov Tamari a montré que certaines opérations simples sur les arbres binaires plans permettaient de définir un treillis sur ces objets. Je vais présenter ces deux structures et expliquer certaines propriétés qui montrent qu'elles sont étroitement reliées entre elles. En fait, ces structures forment ensemble un contexte algébrique très riche, où se rencontrent entre autres la théorie des représentations des carquois et la théorie des opérades.

Un ensemble d'entiers naturels est dit "libre de somme", ou "libre" dans cet exposé, s'il ne contient pas a, b, c avec a+b=c. Il est dit "faiblement libre" s'il ne contient pas a, b, c avec a ≠ b et a+b=c. Etant donnés k, n ≥ 1, peut-on partitionner {1, 2, ... , n} en k parties libres ? Un théorème de Schur affirme que c'est impossible dès que n dépasse un certain seuil maximal S(k). De même, il existe un seuil maximal WS(k) au delà duquel il est impossible de partitionner {1, 2, ... , n} en k parties faiblement libres. Ce type d'énoncé est typique en théorie de Ramsey. Malgré l'ancienneté de cette question, les valeurs exactes de S(k) et WS(k) ne sont connues que pour k ≤ 4. Je présenterai deux nouvelles bornes dans le cas faible, obtenues via une traduction en problème de satisfiabilité boolénne. L'exposé se veut élémentaire.

G. Malle et G. Navarro ont récemment conjecturé une nouvelle caractérisation des blocs nilpotents des groupes finis. Les blocs nilpotents, définis par M. Broué et L. Puig, devraient être les plus simples à étudier d'un point de vue local. Malheureusement, leur définition met en jeu les "sous-paires d'Alperin-Broué", ce qui rend leur détection très difficile. L'avantage de la caractérisation proposée par Malle et Navarro est qu'elle est directement lisible dans la table des caractères du groupe. Dans cet exposé, après une brêve description des objets mentionnés ci-dessus, je commencerai par présenter la conjecture de Malle et Navarro, ainsi que les exemples qu'ils ont traités. Je présenterai ensuite le cas du groupe symétrique (résolu par P. Fong), et enfin celui des extensions de Schur des groupes symétriques et alternés.

Les cellules de Kazhdan-Lusztig d'un groupe de Coxeter W (c'est à dire un groupe engendré par des involutions) sont des classes d'équivalence de W. Dans le cas des groupes de Weyl affines (c'est à dire des groupes engendrés par des reflections orthogonales affines) ces cellules ont des propriétés géométriques très intéressantes. Dans cet exposé, je présenterai quelqu'unes de ces propriétés.

Si t est une trace définie sur l'algèbre d'Hecke du groupe symétrique S_n, la décomposition de t sur la base des caractères irréductibles de l'algèbre d'Hecke fournit une mesure de probabilité sur l'ensemble P_n des partitions de taille n. Lorsque t est la trace régulière de H_q(S_n), on obtient la q-mesure de Plancherel ; plus généralement, on peut traiter le cas où t est une trace de Markov. On dispose alors d'une famille à deux paramètres de mesures de probabilité sur P_n vérifiant une loi des grands nombres et un théorème central limite pour la taille des lignes et des colonnes des partitions. Via l'algorithme RSK et la théorie des fonctions quasisymétriques, ces résultats peuvent être interprétés en termes de longueur des plus longs sous-mots croissants et décroissants de modèles de permutations aléatoires.

Nous nous intéressons à un espace de polygones dans le plan projectif. Cet espace peut être identifié à un ensemble d'objets combinatoires, appelés 2-frises, généralisant les frises introduites par Coxeter en 1971. Cette identification permet notamment de décrire l'espace des polygones comme variétés amassées (liées à la théorie Cluster Algebra de Fomin-Zelevinsky). Dans cet exposé je présenterai tous ces objets, expliquerai comment ils sont reliés les uns aux autres et donnerai leurs principales propriétés.