Rencontre Algèbre Poitiers Tours (RAPT)

Poitiers, le 26 mars 2010

Résumé des exposés

Donnons-nous une algèbre de Lie semi-simple complexe épinglée. Une base d'une représentation est dite parfaite si elle est compatible avec l'action de la sous-algèbre de Cartan et des vecteurs de racines simples. Une représentation possède toujours au moins une base parfaite, et en fait presque toujours plusieurs. Les bases parfaites d'une représentation sont toutes régies par une même combinatoire, le cristal de Kashiwara de la représentation. Après avoir rapidement rappelé quelques constructions de bases parfaites dues à Lusztig et Mirkovic-Vilonen, j'exposerai divers résultats permettant de comparer ces bases et de relier la combinatoire du cristal aux géométries utilisées pour la construction des bases.

Un des problèmes fondamentaux en théorie des représentations p-modulaires des groupes finis est de déterminer sa p-matrice de décomposition. Un p-ensemble basique d'un groupe fini est une première approximation de cette dernière. Bien que démontrée dans de nombreux cas, l'existence d'un tel ensemble est actuellement un problème ouvert. Dans cet exposé, nous présenterons un p-ensemble basique pour les groupes alternés. Ce travail est une collaboration avec Jean-Baptiste Gramain (Université de Copenhague).

Soit K un groupe de Lie compact connexe. L'ensemble des triplets (O₁,O₂,O₃) d'orbites adjointes tels que O₁+O₂+O₃ contient 0 est naturellement paramétré par un cône convexe polyhédral Γ(K). Pour K=SU(n), la conjecture de Horn (démontrée par Klyachko et Knutson-Tao) décrit de manière très élémentaire et inductive un ensemble redondant d'inégalités qui caractérisent le cône Γ(K). Toujours pour K=SU(n), un théorème de Knutson-Tao-Woodward décrit l'ensemble minimal d'inégalités qui caractérise Γ(K) : ces inégalités sont paramétrées par des conditions cohomologiques et non plus de manière inductive. Dans cet exposé, nous expliquerons la généralisation du théorème de Knutson-Tao-Woodward à tout groupe compact K. Nous donnerons ensuite un algorithme inductif pour paramétrer les inégalités obtenues lorsque K est de type A, B ou C.

Lors de l'étude de l'indice du quotient d'une sous-algèbre de Borel d'une algèbre de Lie simple par un idéal ad-nilpotent, nous avons introduit les H-séquences. Il s'agit d'une suite de racines positives, obtenue de manière récursive à partir de l'idéal ad-nilpotent. Dans cet exposé, nous allons voir comment on associe à une H-séquence un élément du groupe de Weyl, et nous présenterons quelques propriétés de cet élément. Nous allons notamment voir que sa longueur est liée à la dimension de l'idéal de départ.

On associera une nouvelle algèbre graduée à tout carquois avec involution. Ceci nous permettra de résoudre deux conjectures de Enomoto et Kashiwara concernant l'algèbre de Hecke affine de type B. (en collaboration avec Eric Vasserot)