Colloque Tournant 2011

Poitiers, du 6 au 8 janvier 2011

Résumé des exposés

Nous construisons le système d'équations différentielles le réseau de Full Kostant-Toda periodique sur toute algèbre de Lie simple et nous démontrons son intégrabilité au sens de Liouville. Notre construction et notre démonstration font appel à des résultats sur les algèbres de Lie simples, leurs R-matrices, leurs fonctions Ad-invariantes et leurs systèmes de racines.

O. Loos a montré que l'objet géométrique associé à une algèbre de Lie \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)-graduée est un espace symétrique \( G/H \). Ensuite, W. Bertram et K.H. Neeb ont déini les géométrie projectives généralisées qui correspondent aux algèbres de Lie \(3\)-graduée. Dans cet exposé, on va définir un objet géométrique associé à une algèbre de Lie \((2k+1)\)-graduée, que j'appelle une géométrie de drapeaux généralisée : \((X^{+} = G/P^{-} , X^{-}=G/P^{+})\) puis regarder la différence principale entre le cas des \(3\)-graduations et le cas général, \(k>1\). Cette différence réide dans le fait que dans le cas général, il existe sur les espaces \( X^{+}\) et \(X^{-}\) des structure (multi-)contact i.e. une distribution de filtrations sur \( X^{+}\) et \(X^{-}\).

Après un bref rappel du contexte des algèbres amassées, j'introduirai un exemple de catégorification additive d'une algèbre amassée antisymétrisable. En particulier, j'expliquerai les théorèmes fondamentaux qui permettent, à travers la mutation des objets amas-basculants dans des catégories adaptées munies d'actions de groupes, d'obtenir des résultats sur les algèbres amassées.

Les masures sont des généralisations des immeubles de Bruhat-Tits aux groupes de Kac-Moody. Les immeubles permettent d'avoir des informations sur la théorie des représentations des groupes réductifs. Certaines de ces applications se généralisent au cas des groupes de Kac-Moody.

J'expliquerai comment on peut construire de nombreux sous-groupes normaux du groupe de Cremona (transformations birationnelles du plan projectif) en utilisant une action par isométries de ce groupe sur un espace hyperbolique de dimension infinie (travail en collaboration avec Serge Cantat).

Adams a conjecturé dans 1998 des identités de caractères qui est étroitement reliée à la correspondance de Howe pour la paire duale $(\mathrm{O}(2n+1), \mathrm{Sp}(2n))$. Il conjecturait également un résultat dual, à savoir le transfert d'intégrales orbitales, pour tout corps local de caractéristique nulle. Nous discuterons les résultats de Renards pour le corps réel et les résultats pour les corps $p$-adiques.

Il s'agit d'un travail en commun avec K.-H. Neeb (Erlangen). Nous étudions les représentations unitaires de groupes de Lie-Banach pour lesquelles la représentation dérivée est semibornée sur un cône de l'algèbre de Lie (cela veut dire que les opérateurs autoadjoints associés aux éléments du cône sont bornés a droite). Ces représentations sont liées a des représentations de semigroupes associés au cône. Les groupes de Lie de type hermitien (de dimension finie) admettent des représentations semibornées pour un cône ouvert: ce sont les représentations unitaires de plus haut poids, et elles s'étendent en une représentation du semigroupe d'Olshanski complexe. Nous obtenons entre autres un résultat similaire pour les groupes de Lie-Banach, par une méthode nouvelle, ne supposant pas l'existence de vecteurs analytiques. Nos résultats s'appliquent aussi aux autres groupe de Lie classiques de dimension infinie.

Nous allons nous servir des résultats connus sur l'étude des idéaux ad-nilpotents d'une sous-algèbre parabolique d'une algèbre de Lie simple pour étudier les idéaux ad-nilpotents d'une super-algèbre de Lie classique.

Je vais expliquer une construction de cristal sur l'ensemble des classes d'isomorphisme des modules simples dans la catégorie $\mathcal{O}$ des algèbres de Cherednik rationnelles cyclotomiques, ainsi que le lien avec les espaces de Fock.

Nous étendons une représentation des groupes de tresses par complexes de bimodules de Soergel due à Rouquier. Nous détaillerons la construction des bimodules de Soergel puis la catégorification des groupes de tresses de Rouquier que nous généraliserons ensuite aux groupes de tresses virtuelles.

Soit \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie réductive de dimension finie sur \(\mathbb{C}\). Un module de poids est un module de type fini, diagonalisable sous l'action d'une sous-algèbre de Cartan, avec multiplicités finies. Ces modules ont été étudiés à partir de la fin des années 80. Un cas particulièrement intéressant est celui des modules de degré 1, c'est-à-dire les modules de poids dont les espaces propres sous l'action d'une sous-algèbre de Cartan sont des droites. Après avoir rappelé leur classification obtenue par Benkart, Britten et Lemire en 1997, nous donnerons quelques règles de branchement pour ces modules lorsque \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})\).

À une algèbre de Lie quadratique, on associe une 3-forme invariante d'auto-super-crochet de Poisson nul. Dans cet expos&ecute;, à l'aide de ces formes, nous allons d&ecacute;finir un nouvel invariant numérique des algèbres de Lie quadratiques. Nous donnerons ensuite une classification complète des algèbres pour lesquelles cet invariant est non nul.