\documentclass[12pt,reqno,a4paper]{amsart}  
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\input{../../preambule}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theo}{Theorem}[section]
\newtheorem{coro}[theo]{Corollaire}
\newtheorem{lem}[theo]{Lemma}
\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{Definition}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}{Remark}[section]
% ***************************************************************************

\renewcommand{\M}{Montrons que }
\renewcommand{\m}{montrons que }
\renewcommand{\Mq}{Montrons que }


\newcommand{\Mo}{\mathcal{M}}
\newcommand{\re}{\mathcal{R}}
%\newcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\T}{\mathcal{T}}

\newcommand{\Pf}{\vec{P}}
\renewcommand{\u}{\vec{u}}
\renewcommand{\v}{\vec{v}}


% ***************************************************************************
  \textwidth16cm
  \textheight23cm
  \oddsidemargin0cm \evensidemargin0cm 
  \topmargin0cm % augmenter descend
  \hoffset0cm % augmenter decale vers la droite
  \parindent=12pt

\pagestyle{plain}
%
% ***************************************************************************
\begin{document}
% ***************************************************************************
{\large \bf  \noindent Master Enseignement}                 \hfill {\annee}\\
{\bf Leçon d'oral}       \hfill {\sf rougirel@math.univ-poitiers.fr}\\
%
%
% ***************************************************************************
%
\vs\vs
\centerline{\large \it Frises du plan} 
%
%
% ***************************************************************************
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%-----------------------------------------------------------------------------
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%                               SECTION 
%                     
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\section{Approche universitaire}
Soit $\P$ le plan affine euclidien et $\Pf$ l'espace vectoriel euclidien associé. 
Soit 
$\mathcal{R}=(O, \vec{\imath},\vec{\jmath})$, un repère orthonormé direct de $\P$. Pour $M\in\P$, 
on note $(x, y)$, ses coordonnées dans $\re$. Inversement, si $(x, y)\in \R^2$ alors 
$(x, y)_\re$ désigne le point de $\P$ de coordonnées $(x, y)$ dans $\mathcal{R}$.

Si $g:\P\to\P$ est une application affine, on note $\vec{g}:\Pf\to \Pf$, 
son application linéaire associée. Pour tous $M$, $A\in \P$, on rappelle que
%--
\begin{equation} \label{1}
    g(M) = g(A) + \vec{g}(\overrightarrow{AM}).
\end{equation}
%--
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%                               SUBSECTION Motifs
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\subsection{Définition et exemples}
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     Definition d1
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{defi}\label{d1} Soit $F$ un sous-\ens non vide de $\P$. On note 
$\T(F)$, l'\ens des translations de $\P$ laissant $F$ invariant \cad
$$
      \T(F):=\{ t:\P\to \P \t{ translation}\ | \ t(F)=F \}.
$$
%
\end{defi}
%
\noindent
$(\T(F), \circ)$ est un groupe.

Pour tout $\v\in\Pf$, on note $t_{\v}$, la translation de vecteur $\v$.
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     Definition d2
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{defi}\label{d2}\cite{T} Soit $F$ un sous-\ens non vide de $\P$. On dit que 
$F$ est une \emph{frise} s'il existe $\u\in \Pf\setminus\{0\}$ tel que
$$
      \T(F)=\{ t_{n\u} \ | \ n\in\Z \}.
$$
On dit alors que $F$ est une \emph{frise de vecteur} $\u$.
%
\end{defi}
%
\Ex Les ensembles suivants sont des frises. 

\noindent
(i) $F:=\{(n, 0)_\re\ | \ n\in \Z\}$ ; 

\noindent 
(ii) $F:=\{(n, x)_\re\ | \ n\in \Z,\, x>0 \}$ ;

\noindent 
(iii) $F:=\{(n, m)_\re\ | \ n\in \Z,\, m\in\N \}$ ;

\noindent 
(iv) $F:=\{(n, y)_\re \in \Z\times \Z \ | \ \sqrt{|y|}\in \N \}$. En effet, soit 
$\v=(\a, \b)\in \Pf$. Si 
$t_{\v}\in\T(F)$ alors $t_{\v}(O)$ et $t_{\v}\circ t_{\v} (O)$ appartiennent à 
$F$. Donc $\a\in\Z$, et d'autre part, $\sqrt{|\b|}$ et $\sqrt{2|\b|}$ sont entiers. Si $\b\not=0$ alors 
$\sqrt{2}$ est rationnel. Ainsi $\b=0$ et $\v$ est un multiple entier de 
$\vec{\imath}$. 

Réciproquement, il est clair que $t_{\vec{\imath}}\in\T(F)$ ; de sorte que $F$ est une frise de vecteur $\vec{\imath}$. 
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     PROPOSITION                           
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{prop}  \label{p1} Soit $F$ une frise de vecteur $\u$ et $g$ une application affine inversible. Alors $g(F)$ est une frise de vecteur $\vec{g}(\u)$.
\end{prop}
%-----------------------------------------------------------------------------
%
Pour démontrer cette proposition, on va utiliser le lemme suivant.
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     LEMME  l1                         
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{lem}  \label{l1} Soit $g$ une application affine et $\u\in\Pf$. Alors
$$
      t_{\vec{g}(\u)}\circ g = g \circ t_{\u}.
$$
\end{lem}
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{proof}Pour tout $M\in\P$, on a
%--
\begin{align*}  
    t_{ \vec{g}(\u) }\circ g (M)             
    & = g(O) + \vec{g}(\overrightarrow{OM}) + \vec{g}(\u)&&\t{(\da \eqref{1})} \\
    & = g(O) + \vec{g}(\overrightarrow{OM}+ \u)
                                              &&\t{(par linéarité de $\vec{g}$)}\\
    & = g(O) + \vec{g}(\overrightarrow{Ot_{\u}(M)})&&\\
    & = g\big(t_{\u}(M)\big)&&\t{(\da \eqref{1}).}    
\end{align*}
%--
\end{proof}
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{proof}[Démonstration de la proposition \ref{p1}] Soit $F$, une frise de vecteur $\u$.

\noindent
(i) \M $\{ t_{n\vec{g}(\u)} \ | \ n\in\Z \} \subseteq \T\big( g(F)\big)$. En effet,
%--
\begin{align*}  
    t_{\vec{g}(\u)}\big(g(F)\big)            
    & = g \circ t_{\u} (F) 
            &&\t{(\da le lemme \ref{l1})} \\
    & = g(F)&&\t{(car $F$ est une frise de vecteur $\u$)}.
\end{align*}
%-- 
On a prouvé que $t_{\vec{g}(\u)}\big(g(F)\big) = g(F)$ ; d'où l'inclusion annoncée.\vs
\noindent
(ii) Réciproquement, \m 
$$
        \T\big( g(F)\big)   \subseteq \{ t_{n\vec{g}(\u)} \ | \ n\in\Z \}
$$
Soit $t_{\vec{w}}\in\T(g(F))$. Alors $t_{\vec{w}}(g(F))=g(F)$. Il suffit de prouver
 que $\vec{w}$ est un multiple entier de $\vec{g}(\u)$. Pour cela, on pose 
$$
    \v:=\vec{g}^{\,-1}(\vec{w}).
$$

On a alors
%--
\begin{align*}  
    t_{\v}(F)            
    & = t_{\vec{g}^{\,-1}(\vec{w})} \circ {g}^{-1}\big( g(F)\big)\\
    & = {g}^{-1} \circ t_{\vec{w}}\big( g(F)\big)
            &&\t{(\da le lemme \ref{l1})} \\
    & = {g}^{-1}\big( g(F)\big)&&\t{(car $\vec{w}\in \T(g(F))$)}\\
    & = F.
\end{align*}
%--
On a prouvé que $ F = t_{\vec{v}}(F)$; donc, puisque $F$ est une frise, 
$\vec{v}$ est un multiple entier de $\u$. Par linéarité, 
$\vec{w}=\vec{g}(\vec{v})$ est 
également un multiple entier de $g(\u)$. 
\vs
\noindent
(iii) Il résulte des points (i) et (ii) que 
$$
        \T\big( g(F)\big) = \{ t_{n\vec{g}(\u)} \ | \ n\in\Z \}, 
$$
donc $g(F)$ est une frise de vecteur $\vec{g}(\u)$. 
%
\end{proof}
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%                               SUBSECTION Motifs
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\subsection{Motifs}
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     Definition d3
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{defi}\label{d3} Soit $F$ une frise de vecteur $\u$ et $d$ une droite perpendiculaire à $\u$. Une partie $\mathcal{M}$ de $F$ de la forme
$$
      \mathcal{M} =F\cap\{ N+x\u \ | \ N\in d, \, x\in[0, 1] \}
$$
est appelé un \emph{motif de } $F$.
%
\end{defi}
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     PROPOSITION   p2                        
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{prop}  \label{p2} Soit $F$ une frise de vecteur $\u$ et $\mathcal{M}$ un motif de $F$. Alors
$$
      F = \bigcup_{n\in\Z}t_{n\u}(\mathcal{M}).
$$
\end{prop}
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{proof}
Par définition de $\mathcal{M}$, $\mathcal{M}\subseteq F$. Donc 
$t_{n\u}(\mathcal{M})\subseteq F$ car $F$est invariante par translation. D'où
$$
      \bigcup_{n\in\Z}t_{n\u}(\mathcal{M}) \subseteq F.
$$

Réciproquement, soit $M\in F$ et $N_0$, le projeté orthogonal de $M$ sur $d$. Alors, comme $d$ et $\u$ sont perpendiculaires, 
il existe $n_0\in\Z$ et $x\in [0, 1[$ tels que 
$$
      \overrightarrow{N_0 M}= (n_0+x)\u.
$$
\Cad $M=(N_0+x\u) + n_0\u $. 

Comme $M\in F$, il en résulte que le point $N_1:=N_0+x\u$ appartient à $F$. 
De plus, comme $N_0\in d$, on en déduit que $N_1\in \mathcal{M}$. 
 
On a donc $M = N_1 + n_0\u$ ; de sorte que $M$ appartient à $t_{n_0\u}(\mathcal{M})$. D'où
$$
     F \subseteq \bigcup_{n\in\Z}t_{n\u}(\mathcal{M}).
$$
\end{proof}
%
%
\Ex Soit $E$ la \fo partie entière et $G$ sa représentation graphique dans le repère $\re$, \cad
$$
    G:=\{ (x, E(x))_\re  \ | \ x\in \R \}.
$$
\noindent $\bullet$ $G$ est une frise de vecteur $\u:=(1, 1)$. 
En effet, pour tout $x\in\R$,
$$
       E(x+1)=E(x)+1.
$$
Donc $t_{\u}(G)\subseteq G$. De même, $t_{-\u}(G)\subseteq G$. D'où 
$G \subseteq t_{\u}(G)$. Ainsi $t_{\u}(G)= G$.

Il reste à montrer que, si $t_{\v}(G)= G$ alors il existe $n\in\Z$ tel que $\v=n\u$. Pour cela, on note $\v=(\alpha, \beta)$. Pour tout 
$x\in\R$,  $M:=(x, E(x))_\re\in G$, donc
$$
        t_{\v}(M)=(x+\alpha, E(x)+ \beta)_\re\in G.
$$
\Cad
$$
       E(x+\alpha) = E(x)+ \beta  \vp x\in\R.
$$

En choisissant $x=0$, il vient $E(\alpha)=\beta$. Donc $\beta$ est entier. 
En choisissant $x=-\alpha$, il vient $E(-\alpha)=-\beta$. Donc
$$
          - \beta \le - \alpha.
$$
D'autre part, comme $E(\alpha)=\beta$, on a $\beta\le \alpha$. De ces deux inégalités, il résulte que $\alpha=\beta$. Donc $\v=\beta\u$ et $\beta$ est entier ; cqfd.

\noindent $\bullet$ L'\ens $\Mo$ défini par 
$$
     \Mo:=\big\{ (x, 0)_\re \ | \ x\in [0, 1[ \big\} \cup \{ (1, 1)_\re  \}
$$
est un motif de $G$. En effet, la droite $d$ d'équation $y=-x$ est perpendiculaire à $\u$ et on peut établir que
$$  
    \{ N+s\u \ | \ N\in d, \, s\in[0, 1] \} =
    \{ (x, y)_\re \ | \ -x\le y \le -x + 2 \}.
$$
L'intersection de cette bande avec la frise $G$ est égale à
$$
     \Mo':=\{ (x, E(x))_\re \ | \ -x\le E(x) \le -x + 2 \}.
$$

\M le motif $\Mo'$ de $F$ est égale à $\Mo$. En effet, il est clair que $\Mo\subseteq\Mo'$. Réciproquement, si 
$M:=(x, E(x))_\re\in \Mo'$, on en déduit d'une part que
$$
     0 \le x + E(x).
$$
Comme $E(x)\le x$, on a $0\le 2x$. \Cad $x\ge 0$. 

D'autre part, on en déduit que
$$
     x + E(x) \le 2.
$$
Comme $E(x)\le x$, on a $2E(x) \le 2$. \Cad $E(x)\le 1$ et $x\le 1$. 

Ainsi, $0\le x\le 1$. Il en résulte facilement que $M\in \Mo$.

On a donc $\Mo'=\Mo$ ; cqfd.  
%%
%%-----------------------------------------------------------------------------
%%                     LEMME  l2                       
%%-----------------------------------------------------------------------------
%%
%\begin{coro}  \label{l2} Soit $\u\in\Pf$, $R$ une rotation de 
%$\P$ et $\vec{R}$ sa rotation vectorielle. Alors
%$$
%      t_{\vec{R}(\u)}\circ R = R \circ t_{\u}.
%$$
%\end{coro}
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%                               SUBSECTION Groupe de symétries
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\subsection{Groupe de symétries}
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     Definition d4
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{defi}\label{d4} Soit $F$ une frise. On note $\mathcal{I}_s(F)$, l'\ens des isométries de $\P$, qui laissent $F$ invariante. \Cad
$$
      g(F)=F\vp g\in \mathcal{I}_s(F).
$$
On note $\mathcal{I}_s^+(F)$, l'\ens des déplacements de $\P$, qui laissent $F$ invariante.
%
\end{defi}
%
Si $F$ est une frise de vecteur $\u$ alors $\mathcal{I}_s(F)$ et $\mathcal{I}_s^+(F)$ sont des groupes et 
$$
       \{ t_{n\u} \ | \ n\in\Z \} \subseteq \mathcal{I}_s^+(F)
       \subseteq \mathcal{I}_s(F).
$$
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     PROPOSITION  p3                       
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{prop}  \label{p3} Soit $F$ une frise de vecteur $\u$ et $R$ une rotation de 
$\P$. Si $R\in \mathcal{I}_s(F)$ alors $R$ est une rotation d'angle $0$ ou $\pi$.
\end{prop}
%-----------------------------------------------------------------------------
%

%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{proof}%[Démonstration de la proposition \ref{p3}] 
%--
On note $\vec{R}$, la rotation vectorielle associée à $R$. 
\Da la proposition \ref{p1}, $R(F)$ est une frise de vecteur $\vec{R}(\u)$. Comme par \hy\rn, $R(F)=F$, on en déduit que les vecteurs $\vec{R}(\u)$ et $\u$ sont colinéaires. Il en résulte que l'angle de $R$ est congru à $0$ modulo $\pi$. 
\end{proof}
%
%
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%                     PROPOSITION  p4                     
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{prop}  \label{p4} Soit $F$ une frise, $\mathcal{M}$ un motif de $F$ et $s$ une symétrie centrale de $\P$.
%
\begin{enumerate}[{\rm (i)}]
%
  \item Si un motif $\mathcal{M}$ de $F$ est invariant par $s$ alors $s$ appartient à $\mathcal{I}_s(F)$.
%
  \item Réciproquement, si $s$ appartient à $\mathcal{I}_s(F)$ alors il existe un motif $\mathcal{M}$ de $F$ invariant par $s$. 
%
\end{enumerate}
%
\end{prop}
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{proof} (i)
%--
\begin{align*}  
    s(F)            
    & = \bigcup_{n\in\Z}s\circ t_{n\u}(\mathcal{M}) 
            &&\t{(\da la proposition \ref{p2})} \\
    & = \bigcup_{n\in\Z}t_{-n\u}\circ s(\mathcal{M})
            &&\t{(\da le lemme \ref{l1})}\\
    & = \bigcup_{n\in\Z}t_{-n\u}( \mathcal{M})
            &&\t{(car $s(\mathcal{M})=\mathcal{M}$)}\\
    & = F   &&\t{(\da la proposition \ref{p2})}.
\end{align*}
%-- 
(ii) On note $I$ le centre de $s$. Soit $A$, $B\in\P$ tels que 
$\overrightarrow{AB}=\u$ et I est le milieu de $[AB]$. Soit $d$ la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $\u$ ($F$ est une frise de vecteur $\u$). Soit
$$
 R_I:= \{ N+x\u \ | \ N\in d, \, x\in[0, 1] \}.
$$
Alors $\mathcal{M} =F\cap R_I$ est un motif de $F$. \M $s(R_I)=R_I$. Pour cela, on écrit tout élément de $R_I$ sous la forme
$$
    N_x = N+x\u,\h\t{où }x\in[0, 1],
$$
\cad $\overrightarrow{N N_x}=x\u$ ; de sorte que
%
\begin{equation*}
  \overrightarrow{s(N)s(N_x)} = -x\u.
\end{equation*}
%--
Soit $N'\in\P$ tel que  
%
\begin{equation} \label{1.2}
  \overrightarrow{s(N)N'} = -\u.
\end{equation}
%--
Alors 
$$
     \overrightarrow{N's(N_x)} = \overrightarrow{N's(N)}  -x\u = (1-x)\u,
$$
(\da \eqref{1.2}), \cad $s(N_x)=N' + (1-x)\u$. \M $N'\in d$. En effet,
$$
      \overrightarrow{Ns(N)} = 2\overrightarrow{NI} 
      = 2\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{NA}+\u.
$$
D'où 
%
\begin{equation} \label{1.4}
      \overrightarrow{Ns(N)}.\u = 2\overrightarrow{NA}.\u + \| \u \|^2
      = \| \u \|^2,	
\end{equation}
%-- 
car $N$, $A\in d$ et $d\perp \u$. Par suite,
$$
     \overrightarrow{NN'}.\u = \overrightarrow{Ns(N)}.\u +
     \overrightarrow{s(N)N'}.\u = 0,
$$
avec \eqref{1.4} et \eqref{1.2}. Donc $N'\in d$.

Il en résulte que $s(R_I)\subseteq R_I$, puis $s(R_I)=R_I$ car $s$ est une involution. Finalement, comme $F$ et $R_I$ sont invariants par $s$,
$$
   s(\mathcal{M}) =s(F)\cap s(R_I)=F\cap R_I= \mathcal{M}.
$$


\end{proof}
% 
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%                THEOREME 
%                              
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{theo}\label{t1}[Structure de $\mathcal{I}_s^+(F)$] Soit $F$ une frise de vecteur $\u$. De deux choses l'une:
%
\begin{enumerate}%[{\rm (i)}]
%
  \item $\mathcal{I}_s^+(F)$ est engendré par la translation de vecteur $u$; ou bien
%
  \item  $\mathcal{I}_s^+(F)$ est engendré par $t_{\u}$ et une symétrie centrale.
%
\end{enumerate}
%
\end{theo}
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\begin{proof} Si $\mathcal{I}_s^+(F)\not=\T(F)$ alors  $\mathcal{I}_s^+(F)$ contient une rotation non triviale. \Da la proposition \ref{p3}, cette rotation est une symétrie centrale. Notons $A$ son centre. 

Soit $s_B$ une autre symétrie centrale de $\mathcal{I}_s^+(F)$. Alors
$$
     s_B \circ s_A = t_{2\overrightarrow{AB}}.
$$
Donc il existe $n\in\Z$ tel que $2\overrightarrow{AB}=n\u$, et
$$
     s_B = t_{n\u}\circ s_A.
$$
Ainsi $\mathcal{I}_s^+(F)$ est engendré par $t_{\u}$ et $s_A$.
\end{proof}
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%
%                               SECTION 
%                     
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\section{Les frises dans le secondaire}
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%                               SUBSECTION 
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\subsection{Le site Eduscol \cite{E}}
Une \emph{frise} est une bande de plan dans laquelle un motif se répète régulièrement par une même translation, schématisée par un vecteur. 
Un motif associé à une translation la plus
courte possible est un \emph{motif de base} ; celui-ci peut lui-même être obtenu à partir d'un \emph{motif élémentaire}, reproduit par d'autres transformations (symétries, rotations).

Un motif de base et un motif élémentaire associé ne sont pas uniques. Un motif de base peut
être envisagé ou non avec un polygone ou une forme géométrique qui l'entoure, et qui peut
par des translations successives recouvrir entièrement la bande de plan, quitte à négliger le
chevauchement des bords. Chaque situation guidera le choix du motif envisagé, qui doit être précisé.
%
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
%                               SUBSECTION 
%
%-----------------------------------------------------------------------------
%
\subsection{Programmes}
%%
%%---------------------------------------------------------------------------
%%                               DESSIN                            
%%---------------------------------------------------------------------------
%[width=12cm][width=14.5cm]
\begin{figure}[!h]
\centering \includegraphics[width=15cm]{frises-college.eps}
\caption{Programme 2016 du cycle 4}
\end{figure}
%
%%---------------------------------------------------------------------------
%%

%%
%%---------------------------------------------------------------------------
%%                               DESSIN                            
%%---------------------------------------------------------------------------
%[width=12cm][width=14.5cm]
\begin{figure}[!h]
%\vs\vs\vs\vs\vs\vs\vs\vs
\centering \includegraphics[width=15cm]{frises-1er_stda.eps}
\caption{Programme 2010 Première STDA}
\end{figure}
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%                               SUBSECTION 
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%\newpage
\subsection{http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/docmaths/pavages/
pavage\_2\_frise.htm}

L'\emph{ensemble translaté de base d'une frise} est une partie $E$ du plan, fermée (c'est-à-dire contenant sa frontière), connexe (c'est-à-dire d'un seul tenant), ayant la propriété suivante :

Les translatés de $E$ par les translations de vecteurs $k.\u$ avec $k$ entier relatif, recouvrent totalement la bande $B$, sans laisser de vide, et sans empiéter l'un sur l'autre, sinon par leurs frontières.

Autrement dit, les translatés de $E$ réalisent un pavage de la bande, invariant par les mêmes translations que le dessin lui-même.
\vs
\indent
L'\emph{ensemble minimal d'une frise} est une partie $M$ de la bande $B$ telle que si l'on prend tous ses ensembles transformés $f(M)$ par toutes les isométries $f$ laissant la frise invariante, les ensembles
$f(M)$, tous distincts, recouvrent la frise, sans empiéter l'un sur l'autre, sinon éventuellement à leurs frontières.

Autrement dit, les ensembles $f(M)$ réalisent un pavage de la bande.

On appelle \emph{motif minimal} l'intersection du dessin, ou bien du décor, avec l'ensemble minimal.
\vs
\indent \emph{Théorème de classification}. Les frises se répartissent selon 
sept types suivant la nature de leur groupe d'isométries. Pour une illustration de ce \th\rn, voir\\
{\small http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/medias/fichier/frises\_et\_pavages\_1322059168826.pdf}
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\begin{thebibliography}{999}
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\bibitem {T} {\bf P. Tauvel} : {\em Mathématiques générales pour l'agrégation,} Masson.
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\bibitem {E} {\bf Eduscol} : {\em Utiliser les notions de géométrie plane
pour démontrer,} http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Geometrie\_plane/
31/2/\\RA16\_C4\_MATH\_geo\_plane\_doc\_maitre\_574312.pdf.



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\end{thebibliography}
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\end{document}

Tauvel, Patrice(F-POIT)
Mathématiques générales pour l'agrégation.

https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0ahUKEwiepOCT6LbZAhVBWRQKHaJwAo0QFgguMAE&url=http%3A%2F%2Fcache.media.eduscol.education.fr%2Ffile%2FGeometrie_plane%2F31%2F2%2FRA16_C4_MATH_geo_plane_doc_maitre_574312.pdf&usg=AOvVaw06utOm8UBRBIhtRdpb2BGe

http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Geometrie_plane/31/2/RA16_C4_MATH_geo_plane_doc_maitre_574312.pdf.

Utiliser les notions de géométrie plane
pour démontrer