Anthony Phan

Département de Mathématiques, SP2MI
Boulevard Marie et Pierre Curie, Téléport 2
BP 30179, F-86962 Futuroscope-Chasseneuil cedex

Rapport Procope, mars 2001

Détails pratiques

Dans le cadre du contrat Procope, nous avons assisté au colloque Conference on Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis qui se tenait du 15 au 20 mars 2001 à Burg (Allemagne) et qui était co-organisé par le professeur Michael Schürmann de l'Université Ernst--Moritz--Arndt de Greifswald (Allemagne).

Départ :

le jeudi 15 mars 2001 à 13h03 en gare de Kehl, arrivée le lundi 15 mars 2001 à 20h36 en gare de Cottbus.

Séjour :

à l'hôtel où se tenait la conférence ; les frais de séjour ont été intégralement pris en charge par l'organisation de la conférence.

Retour :

le lundi 19 mars 2001 à 17h13 en gare de Cottbus, arrivée le mardi 20 mars 2001 à 1h41 en gare de de Kehl.

Thèmes des conférences

Les principaux thèmes abordés aux cours de ces conférences ont été :

• la théorie des processus non commutatifs (notions d'indépendances non commutatives, calcul stochastique sur l'espace de Fock booléen) ;
• l'analyse en dimension infinie (dilatation de semi-groupes, systèmes-produits, théorie des représentations en dimension infinie) ;
• applications à la physique (détection d'ondes gravitationnelles, téléportation, préparation d'états quantiques).

Thèmes de discussion

La famille des martingales d'Azéma a été découverte par Michel Émery (Séminaire de Probabilités XXIII, 1989). Elles apparaissent comme solutions des équations de structure $$ {\dd[X,X]}_t = \dd t + \beta X_{t-} \dd X_t, \qquad t \geq 0, $$ où $\beta$ est un paramètre réel. Lorsque $\beta\in[-2,0]$, les martingales solutions de valeur initiale déterministe sont uniformément bornées sur tout intervalle temporel borné. Cette propriété permet de montrer qu'elles ont la propriété de représentation chaotique, et de constater qu'il y a coïncidence entre ces processus et ceux qui ont été construits par Michael Schürmann comme composantes de processus de Lévy non commutatifs. La tentation de définir une analyse stochastique (Nicolas Privault) liée aux martingales d'Azéma se heurte à la difficulté à définir dans ce cas un espace tangent dans la direction duquel on puisse faire des variations. La plongeabilité dans un processus de Lévy non commutatif suggère de définir ce calcul des variations dans le cadre quantique.