C. R. Acad. Sci. Paris, t. 000, Série I, p. 000–000, 2000 Physique mathématique/Mathematical physics

Chaoticité de l’opérateur de Gribov dans l’espace de Bargmann

Andrée DECARREAU, Hassan EMAMIRAD et Abdelkader INTISSAR

A. D. et H. E.: Laboratoire de modélisation mécanique et de mathématiques appliquées, Université de Poitiers, boulevard Marie et Pierre Curie, téléport 2, B.P. 30179, 86962 Futuroscope cedex, France Courriel : decarrea et emamirad@l3ma.univ-poitiers.fr

A. I.: Equipe d’analyse spectrale URA-CNRS, N^{o}2053 Université de Corte, Quartier Grossetti, 20250 Corte, France Courriel : intissar@univ-corse.fr

(Reçu le 00 février 2000, accepté le 00 *** 2000)

Résumé. En s’inspirant du résultat de Gulisashvili et MacCluer [14] nous montrons que le cas limite de l’opérateur de Gribov est chaotique dans l’espace de Bargmann. Notre méthode peut être appliquée pour obtenir la chaoticité de l’opérateur d’annihilation dans son espace des vecteurs entiers. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 1999 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Chaoticity of Gribov’s operator in the Bargmann space

Abstract. Inspiring by Gulisashvili and MacCluer [14] result we show that the limit of Gribov’s operator is chaotic in the Bargmann space. Our method can be applied for obtaining the chaoticity of the annihilation operator in his entier vectors space. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 1999 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English Version

Let H be a complex Hilbert space with an inner product ⟨ϕ, ψ⟩ and the norm ∥ϕ∥ = ⟨ϕ, ϕ⟩^{1/2}. We denote by 𝔉(H), the H- valued Bargmann space [3]. The elements of 𝔉(H) are analytic functions in whole complex plane. We can endow 𝔉(H) with a Hilbert space structure. The inner product of two elements f and g of 𝔉(H) is defined by

(f, g) = ∫_{ℂ}⟨f(z), g(z)⟩dμ(z),

Now we place ourself in the theory of reggeons field with a single site which is characterized by a biconfluente Heun’s operator H_{a,b,c}. For defining the biconfluente Heun’s operator on the Bargmann space, we denote by 𝔉_{0} the ℂ-valued Bargmann space 𝔉_{0} := {φ ∈ 𝔉 | φ(0) = 0} and

Note présentée par Paul MALLIAVIN.

0000-0000/00/00000000 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.

A. Decarreau, H. Emamirad et A. Intissar

we define the complex momentum and position operators μ_{z} := d/dz, p_{z} := z on D(μ_{z}) := {φ ∈ 𝔉_{0} | φ′ ∈ 𝔉_{0}} and D(p_{z}) := {φ ∈ 𝔉_{0} | zφ ∈ 𝔉_{0}}. The general expression of the biconfluente Heun’s operator reads as

H_{a,b,c} := \frac{1}{2}(2 + a − c)p_{z} + (1 + a)μ_{z} + bp_{z}μ_{z} + p_{z}(μ_{z} + p_{z})μ_{z}.

For a = −1, c = 1 and b pure imaginary number b = −iμ/λ the operator H_{μ,λ} = H_{−1,b,1} is called Gribov operator. In this paper we are concerned with the limit case, as b → 0, denoted by H := H_{−1,0,1} = z \frac{d^{2}}{dz^{2}} + z^{2} \frac{d}{dz}. This is a cubic operator which we define on his maximal domain.

A bounded linear operator T in a separable Fréchet space X is hypercyclic if there exists x ∈ X such that the orbit {T^{n}x | n = 1, 2, ⋯} is dense in X. The operator T is called chaotic provided that it is hypercyclic and the set of periodic points X_{per} := {x ∈ X | T^{n}x = x for some n ∈ ℕ} is dense in X. Concerning operator H, we will show the following Theorem:

THEOREM 1. – The cubic Gribov’s operator H is chaotic in the H-valued Bargmann space 𝔉_{0} . In bosonic coherent state theory of radiation field, if physical coordinates and momentum are

measured in standard units (\sqrt{ℏ/mω} ≡ 1 for the position variable x and \sqrt{ℏmω} ≡ 1 for the momentum d/dx), the one-dimensional oscillator Hamiltonian can be expressed by H = 2(A†A + AA†), where A and A† given by

A = \frac{1}{\sqrt{2}}(x + \frac{d}{dx}), A† = \frac{1}{\sqrt{2}}(x − \frac{d}{dx}),

are oscillator annihilation and creation operators. Let

H_{n}(x) = (−1)^{n}e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{−x^{2}}

be the Hermite polynomials and

ψ_{n} = π^{− \frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}e^{−x^{2}/2}H_{n}(x), n = 0, 1, ⋯

the orthonormal basis of the complex Hilbert space H := L^{2}(ℝ) which are the eigenfunctions of Hamiltonian H.

The authors of [14] considered the Fréchet space

F := {ψ ∈ H | ψ = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}ψ_{n} with ∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{2}(n + 1)^{ℓ} < ∞ ∀ℓ}

and they used a result of [9] in order to prove that the operator A is chaotic in F. In the same outline of our result we can estabish the following Theorem.

THEOREM 2. – The annihilation operator A is chaotic in the Fréchet space E(A), where E(A) is the space of all entier vectors for A .

Chaoticité de l’opérateur de Gribov dans l’espace de Bargmann

1. Introduction

Soit H un espace de Hilbert complexe muni du produit scalaire ⟨ϕ, ψ⟩ et la norme ∥ϕ∥ = ⟨ϕ, ϕ⟩^{1/2}. Nous notons par 𝔉(H) l’espace de Bargmann [3] à valeurs dans H. Les éléments de 𝔉(H) sont les fonctions ϕ, entières, à valeurs dans H pour lesquelles ∫_{ℂ} e^{−|z|^{2}}∥ϕ(z)∥dxdy < ∞. L’espace 𝔉(H) muni du produit scalaire

(f, g) = ∫_{ℂ}⟨f(z), g(z)⟩dμ(z),

où dμ(z) désigne la mesure gaussienne sur ℂ:

dμ(z) = π^{−1}e^{−\overline{z}·z}dxdy, (z = x + iy).

possède une structure hilbertienne.

Dans [14], Gulisashvili et MacCluer ont etabli un résultat concernant la chaoticité de l’opérateur d’annihilation des ocillateurs harmoniques quantiques non-forcés. Dans cette Note nous représentons un nouveau formalisme de leur résultat qui peut se généraliser à une certaine forme d’opérateurs biconfluents de Heun.

Pour définir l’opérateur biconfluent de Heun dans l’espace de Bargmann (voir [15]), nous notons par 𝔉_{0} := \{φ ∈ 𝔉(ℂ) | φ(0) = 0\}. Dans 𝔉_{0} la suite \{e_{k} := z^{k}/\sqrt{k!}, k ∈ ℕ^{∗}\} forme une base orthonormée.

Nous nous plaçons à présent dans la théorie des champs de reggeons introduite par Gribov [12], afin de décrire le comportement à haute énergie des sections efficaces de collisions de particules élémentaires. L’Hamiltonien de ces champs à une seule dimension s’écrit á l’aide de l’opérateur biconfluent de Heun

H_{a,b,c} := \frac{1}{2}(2 + a − c)p_{z} + (1 + a)μ_{z} + bp_{z}μ_{z} + p_{z}(μ_{z} + p_{z})μ_{z}.

où μ_{z} := d/dz et p_{z} := z (multiplication par z) sont les formes complexes des opérateurs de moment et de position définis sur D(μ_{z}) := {φ ∈ 𝔉_{0} | φ′ ∈ 𝔉_{0}} et D(p_{z}) := {φ ∈ 𝔉_{0} | zφ ∈ 𝔉_{0}}. Dans [5,6] on trouvera une liste abondante de réféfences bibliographiques sur ce sujet.

Pour a = −1, c = 1 et b un nombre complexe sur l’axe imaginaire, l’opérateur H_{−1,b,1} est appelé opérateur de Gribov . Dans cette Note nous montrons que malgré les propriétés de régularité de ces opérateurs qui ont été étudiées dans [1], le cas limite b → 0, noté par H := H_{−1,0,1} = z \frac{d^{2}}{dz^{2}} + z^{2} \frac{d}{dz} présente un aspect chaotique.

Le chaos est en général un phénomène non-linéaire mais le comportement chaotique a été constaté dans beaucoup de systèmes dynamiques linéaires discréts et continus (voir [ 7,11,13,16]). Dans [8, p. 50] Devaney a introduit la définition du chaos pour une application continue quelconque f sur un espace topologique. Dans cette définition il est demandé que f soit topologiquement transitive, ait un ensemble de points périodiques dense et une troisième condition sur la sensibilité aux données initiales. Dans [2] il a été démontré que les deux premières conditions de Devaney impliquent la troisième. Par ailleurs, comme pour un opérateur linéaire borné T sur un espace de Fréchet séparable X, la transitivité topologique est équivalente à l’ hypercyclicité (il existe x ∈ X tel que l’orbite {T^{n}x | n = 1, 2, ⋯} est dense dans X, voir [7]); l’opérateur T est appelé chaotique s’il est hypercyclique et si l’ensemble de ses points périodiques X_{per} := {x ∈ X | T^{n}x = x pour un certain n ∈ ℕ} est dense dans X. Les liens entre les opérateurs hypercycliques et la notion de sous espace invariant ont été étudiés dans [11], dans lequel on peut trouver le résultat suivant:

LEMME 1. – Soit X un espace de Fréchet séparable, T ∈ L (X), Y_{1}, Y_{2} deux sous-ensembles denses de X et S : Y_{1} → Y_{1} tels que (1) T Sy = y, pour tout y ∈ Y_{1};

(2) lim_{n→∞} S^{n}y = 0, pour tout y ∈ Y_{1};

(3) lim_{n→∞} T^{n}w = 0, pour tout w ∈ Y_{2}.

Alors T est un opérateur hypercyclique.

2. Chaoticité de l’opérateur limite de Gribov

Dans cette section nous considérons l’opérateur de Gribov H := z \frac{d^{2}}{dz^{2}} + z^{2} \frac{d}{dz} dans l’espace de Bargmann 𝔉_{0}. Pour tout φ(z) = ∑_{k=1}^{∞} φ_{k} \frac{z^{k}}{\sqrt{k!}} l’opérateur H peut être défini par [Hφ](z) =

∑_{k=1}^{∞}(Hφ)_{k} \frac{z^{k}}{\sqrt{k!}}, où

\{ \begin{matrix}(Hφ)_{1} = & \sqrt{2}φ_{2}, \\ (Hφ)_{k} = & (k − 1)\sqrt{k}φ_{k−1} + k\sqrt{k + 1}φ_{k+1} pour tout k ≥ 2. \end{matrix}

Définissons la suite {u_{k}(λ)} par la relation de récurrence

(S)  \{ \begin{matrix}u_{1}(λ) = & 1, \\ u_{2}(λ) = & \frac{λ}{\sqrt{2}}, \\ (k − 1) & \sqrt{k}u_{k−1}(λ) + k\sqrt{k + 1}u_{k+1}(λ) = λu_{k}(λ) pour tout k ≥ 2. \end{matrix}

En utilisant le résultat de Y. Berzanskii [4], le système (S) est résoluble et chaque u_{k}(λ) est un polynôme de degré k − 1. De plus on a le lemme suivant

LEMME 2. – Le spectre ponctuel de l’opérateur H dans l’espace de Bargmann 𝔉_{0} est tout le plan complexe.

Idée de la démonstration. – Définissons φ_{λ}(z) = ∑_{k=1}^{∞} u_{k}(λ)\frac{z^{k}}{\sqrt{k!}}, où les u_{k}(λ) sont définis par le système (S). Il est clair que Hφ_{λ} = λφ_{λ}. Pour que φ_{λ} ∈ 𝔉_{0} il faut et il suffit que l’on ait pour tout λ ∈ ℂ, {u_{k}(λ)} ∈ ℓ^{2}. Pour cela on montre qu’à partir d’un certain rang k_{0}, u_{k}(λ) est borné par M/\sqrt{k} ln k. Pour déterminer k_{0} on utilise l’équivalence ci-dessous pour k → ∞.

\frac{1}{2k^{3/2} ln k} ∼ \frac{1}{\sqrt{k + 1} ln(k + 1)} − \frac{\sqrt{k − 1}}{\sqrt{k(k − 1)} ln(k − 1)} − \frac{|λ|}{k\sqrt{k(k + 1)} ln k}

qui prouve que le second membre est positif à partir d’un k_{0}. On pose ensuite

M = max \{|u_{k_{0}}|\sqrt{k_{0}} ln k_{0}, |u_{k_{0}−1}|\sqrt{k_{0} − 1} ln(k_{0} − 1)\}

et on vérifie la majoration par rérurrence à partir de k_{0} − 1, en utilisant

|u_{k+1}| ⩽ |λ|\frac{|u_{k}|}{k\sqrt{k + 1}} + \frac{(k − 1)\sqrt{k}|u_{k−1}}{k\sqrt{k + 1}}

et

\frac{(k − 1)\sqrt{k}}{k\sqrt{(k + 1)(k − 1)} ln(k − 1)} + \frac{|λ|}{k\sqrt{k(k + 1)} ln k} ⩽ \frac{1}{\sqrt{k + 1} ln(k + 1)}.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 1 – L’opérateur limite de Gribov H est chaotique dans l’espace de Bargmann 𝔉_{0} .

La dḿonstration qui suit est proche de celle du théorème 5.1 de [11].

Idée de la démonstration. – Soient Ω_{1} := {λ ∈ ℂ | |λ| > 1}, Ω_{2} := {λ ∈ ℂ | |λ| < 1} et Ω_{3} := exp(2πiℚ). On définit comme dans le lemme précédant φ_{λ} les fonctions propres de l’opérateur H et on désigne pour tout j = 1, 2, 3, Y_{j} le sous-espace vectoriel engendré par {φ_{λ} | λ ∈ Ω_{j}}. Chaque Y_{j} est dense dans 𝔉. En effet, si Φ ∈ Y_{j}^{⊥}, alors g(λ) :=< Φ, φ_{λ} > est une fonction analytique dans ℂ qui s’annule sur Ω_{j} qui lui même admet des points d’accumulation, alors g(λ) ainsi que Φ sont identiquement nulles.

Nous définissons à présent l’opérateur S sur Y_{1} par

S (∑_{k=1}^{N} α_{k}φ_{μ_{k}}) := ∑_{k=1}^{N} α_{k}(μ_{k})^{−1}φ_{μ_{k}},

pour μ_{k} ∈ Ω_{1}, α_{k} ∈ ℂ. Il est clair que les hypothèses du lemme 1 pour H = T sont satisfaites, ce qui implique l’hypercyclicité de H. Pour voir que Y_{3} est contenu dans l’ensemble des points périodiques de H, on prend α_{k} ∈ ℂ, n_{k}, m_{k} ∈ ℤ, μ_{k} = exp(2πi\frac{n_{k}}{m_{k}}) et y := ∑_{k=1}^{N} α_{k}φ_{μ_{k}}. Alors si M = ∏_{k=1}^{N} m_{k} on a H^{M}y = y, ce qui achève la démonstration.

2. Chaoticité de l’opérateur d’annihilation dans l’espace des vecteurs entiers

Soit B un opérateur linéaire défini dans un espace de Banach X avec le domaine D(B) et

Y = E(B) := \{ϕ ∈ D(B^{∞}) = ⋂_{n=0}^{∞} D(B^{n}) | ∑_{k=0}^{∞} ∥B^{k}ϕ∥\frac{t^{k}}{k!} < ∞ ∀ t ≥ 0\} ,

l’espace des vecteurs entiers muni de la topologie d’un espace de Fréchet défini par le système des semi-normes {p_{l}}_{l∈ℕ}, où p_{l}(ϕ) = ∑_{k≥0} ∥B^{k}ϕ∥l^{k}/k!. Dans [10] on trouve les liens entre les vecteurs entiers et 𝔉(H) à travers des vecteurs d’état cohérent et entre-autres on démontre que si e^{zB}ϕ ∈ 𝔉(H), alors ϕ ∈ E(B).

Supposons que dans la théorie des champs de radiation on mesure les opérateurs bosoniques avec l’unité standard (\sqrt{ℏ/mω} ≡ 1 pour la variable de position x et \sqrt{ℏmω} ≡ 1 pour l’opérateur de moment −id/dx), l’Hamiltonien des oscillateurs harmoniques unidimensionnels est H = 2(A†A + AA†), où A et A† donnés par

A = \frac{1}{\sqrt{2}}(x + \frac{d}{dx}), A† = \frac{1}{\sqrt{2}}(x − \frac{d}{dx}),

sont les opérateurs d’annihilations et de création. Soit

H_{n}(x) = (−1)^{n}e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{−x^{2}}

le polynôme de Hermite d’ordre n et

ψ_{n} = π^{− \frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}e^{−x^{2}/2}H_{n}(x), n = 0, 1, ⋯

la base orthonormée de l’espace de Hilbert complexe H := L^{2}(ℝ) qui sont les fonctions propres de l’Hamiltonien H.

Dans [14], Gulisashvili et MacCluer ont considéré l’espace de Fréchet

F := {ψ ∈ H | ψ = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}ψ_{n} with ∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{2}(n + 1)^{ℓ} < ∞ ∀ℓ}

et en utilisant un résultat de [9] ils ont démontré que opérateur A est chaotique dans F. Nous démontrons le même résultat dans l’espace 𝔉(H). En utilisant le démarche de la section précedente il suffit de démontrer que le spectre ponctuel de A est tout le plan complexe. En effet, Aψ_{n} = \sqrt{n}ψ_{n−1}, alors pour φ_{λ} = ∑_{k≥0} \frac{(λ/2)^{k}}{\sqrt{k!}} ψ_{k}, on a Aφ_{λ} = \frac{λ}{2}φ_{λ}, pour tout λ ∈ ℂ et comme ∥φ_{λ}∥ ≤ \frac{2}{\sqrt{3}} exp(|λ|^{2}/2), alors p_{l}(φ_{λ}) ≤ \frac{2}{\sqrt{3}} exp(|λ|(l + |λ|)/2). Donc φ_{λ} ∈ E(A) et on obtient le:

THEOREM 2. – L’opérateur annihilation A est chaotique dans l’espace des vecteurs entiers E(A).

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