Université de Poitiers, Faculté des Sciences
40, Avenue du Recteur Pineau, 86022 POITIERS Cedex
Département de Mathématiques,
Téléport 2 – BP 30179, Boulevard Marie et Pierre Curie, 86962 FUTUROSCOPE CHASSENEUIL Cedex
Licence de Mathématiques, de Septembre 2000 à Juin 2004
Attention : à partir de Septembre 2004, est mise en place la nouvelle licence LMD "Mathématiques et Applications".
Responsable :
Marc ARNAUDON
Tél. : 05 49 49 69 16
Fax : 05 49 49 69 01
e-mail :
marc.arnaudon@math.univ-poitiers.fr
Organisation
La Licence de Mathématiques comporte deux semestres de formation :
Le premier semestre est un tronc commun qui comprend trois unités d’enseignement (UE) :
U1 : espaces normés et calcul différentiel, 112h
U2 : analyse numérique, 87h
U3 : éléments d'algorithmique et anglais, 50h
Au deuxième semestre, les étudiants ont le choix entre trois options :
Option 1 (Maîtrise), avec trois UE :U4a : algèbre, 112h
U5a : calcul intégral et équations différentielles, 112h
U6a : calcul algébrique et scientifique, 75h Option 2 (CAPES) avec trois UE :
U4b : arithmétique et géométrie, 112h
U5b : espaces fonctionnels et intégrale de Riemann, 112h
U6b : mathématiques pour le CAPES, 75h Option 3 (CAPE : Concours Administratifs et Professeurs des Ecoles), avec deux UE :
U4b : arithmétique et géométrie, 112h
U8 : unité interdisciplinaire (français, histoire-géographie, biologie-géologie), 120h
Objectifs, débouchés
Ils dépendent de l'option choisie :
Cette option offre aux étudiants une formation théorique en algèbre, analyse et algorithmique qui leur permet de poursuivre leurs études en maîtrise de Mathématiques et au-delà. Ils peuvent choisir, après la licence et la maîtrise, les orientations suivantes :
- préparation à l'Agrégation de Mathématiques
- DEA de Mathématiques suivi d'une thèse
- DESS de Mathématiques, Mathématiques Appliquées, Mathématiques et Informatique ou Ingénierie Mathématique.
Pour la liste des DEA et DESS en France, voir :
www.onisep.fr- admission sur dossier dans une Ecole d'Ingénieurs.
Les étudiants ayant choisi cette option peuvent aussi se présenter en fin d'année aux concours d'admission à certaines écoles d'ingénieurs dans lesquelles des places sont réservées aux étudiants issus de la filière universitaire (Ecole Polytechnique, Institut National des Télécommunications,...).
Le programme de formation de cette option est adapté au concours du CAPES de Mathématiques. Après cette licence, les étudiants s'inscrivent en préparation au CAPES (une année de formation).
Cette option est destinée aux étudiants désireux de devenir professeur des écoles ou de passer des concours externes de la fonction publique, après avoir fait des études de mathématiques. Au second semestre, les étudiants ont une unité d'enseignement de mathématiques contenant essentiellement des probabilités et de l'algorithmique avec beaucoup de travaux pratiques insistant sur l'utilisation de logiciels mathématiques, et une unité d'enseignement qui comprend français, biologie-géologie et histoire-géographie.
Conditions d'accès
Les étudiants titulaires d'un DEUG MIAS, SM ou MASS (ou équivalent) sont admis de plein droit.
Les étudiants sortant de Mathématiques Spéciales en classes préparatoires, ou d'autres formations scientifiques à Bac + 2, sont admis sur dossier.
Programmes
U1 – Espaces normés et calcul différentiel
Espaces métriques. Langage topologique. Espaces métriques complets. Espaces connexes, compacts. Espaces de fonctions continues. Théorème de Stone-Weierstrass. Espaces normés. Applications linéaires et multilinéaires continues. Théorème de Hahn-Banach. Suites convergentes dans un espace de Banach. Dérivées d'ordre 1. Théorème de la valeur moyenne. Dérivabilité des sommes de séries de fonctions. Théorème d'inversion locale et C1-difféomorphismes. Dérivées d'ordre supérieur. Formules de Taylor. Problèmes d'extrema. Fonctions analytiques.
Interpolation, dérivation numérique, intégration numérique, extrapolation à la limite de Richardson. Résolution numérique des équations différentielles, méthodes à un pas d'Adams. Introduction à l'analyse numérique matricielle. Rappels d'algèbre linéaire, décomposition LU, LDU, et de Cholesky. Conditionnement d'une matrice.
Structures algorithmiques, structures de données de base. Algorithmique d'exponentiation, algorithmique d'Euclide, arithmétique modulaire et théorème chinois.
Théorie des ensembles, cardinaux, théorème de Zorn. Groupes, généralités, théorèmes d'isomorphismes. Groupes finis, groupes cycliques. Groupes opérant sur un ensemble, groupes symétriques. Le groupe orthogonal euclidien. Le groupe unitaire. Algèbres de polynômes. Constructions des polynômes, propriétés. Polynômes homogènes, polynômes symétriques. Résultant. Théorie de la divisibilité dans les anneaux. Anneaux de polynômes, de séries formelles. Anneaux euclidiens, principaux, factoriels.
U4b – Arithmétique et géométrie
Arithmétique, congruences, Z/nZ, théorème chinois, résidus quadratiques. Groupes symétriques. Compléments sur les polynômes. Compléments d'algèbre linéaire et bilinéaire. Espaces euclidiens et hermitiens. Groupe linéaire, groupe orthogonal, groupe unitaire. Décompositions usuelles. Géométrie affine et euclidienne. Groupes d'isométries en dimension 2 et 3.
U5a – Calcul intégral et équations différentielles
Espaces mesurés, fonctions mesurables, théorème de Beppo-Lévi. Fonctions intégrables, théorèmes de convergence. Espaces Lp. Mesure de Lebesgue sur Rn. Théorème de Fubini, théorème du changement de variables. Convolution, approximation des fonctions. Espaces de Hilbert. Exemples : l2(I) et L2(
mu). Théorème de la projection. Théorème de Riesz. Bases hilbertiennes. Théorie L2 des séries de Fourier. Convergence ponctuelle. Equations différentielles. Problème de Cauchy, solutions maximales. Dépendance par rapport aux conditions initiales, par rapport à un paramètre. Cas des équations linéaires.
U5b – Espaces fonctionnels et intégrale de Riemann
Espaces fonctionnels. Fonctions réglées, fonctions à variations bornées. Séries de fonctions. Convergence simple, uniforme, normale. Séries entières, exemples d'utilisation des séries entières. Intégrales de Riemann. Continuité et intégrabilité, théorème de Lebesgue, intégrales généralisées. Intégrales à un paramètre, convolution, intégrales multiples. Exemples de fonctions définies par une intégrale.
Espaces préhilbertiens. Séries de Fourier, noyau de Dirichlet. Théorème de convergence simple de Dirichlet. Inégalité de Bessel. Théorème de convergence normale. Egalité de Parseval. Exemple d'utilisation des séries de Fourier. Equations différentielles linéaires, théorème de Cauchy (admis). Equations différentielles d'ordre deux. Introduction aux équations non linéaires.
U6a – Eléments d’algorithmique
Arithmétique polynomiale. Complexité effective des algorithmes. Eléments de cryptographie à clef publique (RSA, sac à dos), authentification. Tests de primalité élémentaires (Lucas-Lehmer, Pépin). Calcul de racines carrées dans un corps fini. Algèbre linéaire sur un corps fini : codes correcteurs, algorithmique de Berlekamp. Suites récurrentes à un pas : détection de la période, r-factorisation de Pollard.
U6b – Mathématiques pour le CAPES
Arithmétique polynomiale. Complexité effective des algorithmes. Quelques méthodes de calcul en algèbre linéaire (détermination du noyau et du rang), calcul du polynôme caractéristique. Polynômes, séries formelles, suites récurrentes linéaires, fractions rationnelles. Expérience aléatoire, espace probabilisé, probabilité conditionnelle. Indépendance. Variables aléatoires réelles, discrètes ou à densité. Loi de probabilité, fonction de répartition, espérance, théorème de transfert, moment d'ordre deux, variance, écart-type. Lois usuelles. Vecteurs aléatoires discrets ou à densité. Loi de probabilité, lois marginales. Indépendance de n variables aléatoires réelles. Linéarité de l'espérance mathématique, espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes. Variance d'une somme de variables aléatoires. Covariance, coefficient de corrélation linéaire. Convergence des suites de variables aléatoires, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Convergence en probabilité. Loi faible des grands nombres. Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale. Approximation de la loi binomiale par la loi de Gauss, par la loi de Poisson. Enoncé du théorème limite central.