Solutions stables d'EDP elliptiques nonlinéaires
Résumé : En partant d'un problème de bifurcation classique, l'équation de Bratu-Gelfand-Liouville, je présenterai quelques théorèmes de rigidité et de régularité pour cette équation et quelques unes de ses variantes. On s'intéressera notamment à l'opérateur biharmonique et au laplacien fractionnaire et on montrera comment exploiter deux belles idées classiques dans ces cadres: les itérations de Moser d'une part et la méthode de "blow-down" de Fleming d'autre part.
Solutions globales pour quelques modèles de fluides magnétiques
Résumé : Un fluide magnétique, appelé aussi ferrofluide, est un suspension de particules magnétiques de taille nanométrique dans un fluide visqueux Newtonien et qui est soumise à un champ magnétique extérieur. Le modéle introduit par Rosensweig et Shliomis considère ce mélange comme une seule phase c'est à dire un fluide aimanté. L'écoulement est soumis à des forces dues au champ magnétique et au mouvement de rotation du moment angulaire. Les variables d'état intervenant dans la modélisation sont : la vitesse du fluide décrit par l'équation de Navier-Stokes, le moment angulaire, l'aimantation vérifiant l'équation de Bloch et le champ magnétique modélisé par l'équation de la magnétostatique. Dans ces exposés, nous présenterons des résultats d'existence globale de solutions de quelques modèles ainsi que des résultats de stabilité quand cela est possible.
Bifurcations des ondes non linéaires: une approche dynamique
Résumé : Durant ces dernières décennies, les méthodes de la théorie des systèmes dynamiques et de la théorie des bifurcations ont permis des avancées importantes dans l'étude des ondes non linéaires. Dans ce cours nous présentons deux de ces outils: les formes normales et les variétés centrales. Nous appliquons ensuite ces méthodes à l'étude de défauts entre structures périodiques, notamment des dislocations et des joints de grain.
Résumé :
Identification de deux coefficients dans une équation elliptique 1D
Résumé : Nous considérons dans ce travail un problème inverse associé au problème aux limites elliptique en une dimension suivant: Trouver u? H^2(0,1) satisfaisant: (P) -b(x) u??+c(x)u? =f(x) pour x?]0,1[ avec u(0)=u?(1)=0. Les fonctions b et c sont supposées continues sur [0,1] telles que b(x)? b_0>0, c(x)?0 et f? L^2(0,1). Etant donné le terme source f, il s'agit de reconstruire les coefficients b et c d'après des observations d=Hu sur la solution u. Le problème à un seul paramètre est bien étudié [1,4]. A notre connaissance le problème à deux paramètres n'est pas bien étudié dans la littérature. Puisqu'il s'agit d'un problème non linéaire et mal posé, nous allons le résoudre au sens des moindres carrés en minimisant la fonction coût de la forme J(a,b)=?_0^1??(u-d)?^2 dt Avec u=?(a,b) la solution de (P) associée aux paramètres (a,b)? U_ad. Nous utiliserons l'algorithme de Levenberg-Marquardt [3] (si les coefficients sont constants) ou l'algorithme du gradient conjugué [2] dans le cas général. Nous montrerons des exemples numériques pour illustrer les difficultés rencontrées. Mots clés: Problèmes Inverses, Identification de paramètres, Optimisation. Bibliographie. [1] H. W. Engl, M. Hanke, and A. Neubauer. Regularization of Inverse Problems., Kluwer Academic Publishers, 1996. [2] M. Hanke. Regularizing properties of a truncated Newton CG algorithm for nonlinear inverse problems, Numer. Funct. Anal. Optim. 18 (1997), p.p. 971-93 [3] M. Hanke. A regularizing Levenberg-Marquardt scheme, with applications to inverse groundwater filtration problems., Inverse Problems, 13:79-95, 1997. [4] M. Guidici. A result concerning identifiability of the inverse problem of ground water hydrology. Inverse Problems, 5:L31-L36, 1989.
HODGE DECOMPOSITION FOR SYMMETRIC MATRIX FIELDS AND THE ELASTICITY COMPLEX IN LIPSCHITZ DOMAINS
Résumé : A venir
Anisotropic singular perturbations of PDE's
Résumé : As it is well known the singular perturbations problems play an important role in the asymptotic analysis theory. In the framework of partial differential equations, this topic has been treated since a long time in a lot of works and by several researchers in order to get a quite complete image. The situation is totally different when the singular perturbation depends on the directions of the spatial variables i.e. for anisotropic singular perturbations problems. In this very distinguished case, since the singularity only affects some directions, we will be obliged to work in some anisotropic Sobolev spaces. Of course this prevents the convergences of the derivatives in these directions to be held. We have to point out that the dimension of the coordinate space where we look for the limit solution is reduced. However, the limit problem is not classic and the spaces on which we study the asymptotic behaviour are very special where a lot of elementary definitions and properties have to be redefined as the trace notion or do not hold totally as for the compacity embedding theorem.
Sur un modèle mathématique issu de la biologie-medecine. Aspects mathématiques et applicatifs.
Résumé : On considère dans ce travail l'analyse de la formation d'une capsule cellulaire fibreuse autour d'un implant posé dans le corps humain et cela pour différentes raisons possibles. Cette capsule a pour effet, en général, de rejeter l'implant (phénomène naturel de rejet) mais peut aussi perturber l'écoulement des substances que l'implant est éventuellement censé délivrer au corps en vue d'un soin. Ce phénomène est modélisé par une équation parabolique linéaire relativement simple mais qui pose des questions autres que celles que nous rencontrons habituellement si on se restreint juste à son analyse mathématique. Dans cette étude on mettra l'accent sur le fait que l'analyse de ce problème mêle des questions de mathématiques diverses (problèmes paraboliques, semi groupes, problèmes inverses, instabilités numériques) de modélisation, de calcul (de calcul en temps réel), de faisabilité (faisabilité technologique et coût) et même des contraintes déontologiques.
Régularités optimales dans les espaces de Hardy et les espaces à oscillation moyenne bornée pour les solutions très faibles de problèmes linéaires
Résumé : Régularités optimales dans les espaces de Hardy et les espaces à oscillation moyenne bornée (bmo) pour les solutions très faibles de problèmes linéaires Sharp regularities in bounded mean oscillation (bmo) spaces and Hardy spaces for the very weak solutions of linear problems Je dédie cet exposé à notre ami RAIS Mustapha pour lui rendre hommage et le remercier de tout ce qu'il a fait pour nous, notre équipe de Mathématiques Appliquées. C est pour cette raison en partie que j ai choisi ce thème qui concerne aussi bien les chercheurs en équations aux dérivées partielles (E.D.P) que certains chercheurs en Analyse Harmonique. On débutera par un petit aspect historique depuis les travaux de John-Nirenberg, Fefferman-Stein, Campanato, jusqu à ce jour par Chang, Stein, Semmes... La liste ne sera pas exhaustive, mais on présentera un tableau récapitulatif des divers espaces BMO, bmo, H(Omega), h(Omega). Pour utiliser certains de ces résultats aux E.D.P, on commencera par répondre à la question : A quoi sert la formulation très faible d?une E.D.P? Pour ce faire, on va expliciter quelques problèmes avec des solutions exactes et présenter divers types de formulations connues. En particulier, on s attardera sur deux formulations très faibles : - celle de H. Brézis pour les problèmes de Dirichlet, - celle que j ai introduite avec Jochen Merker pour les problèmes de Neumann. On présentera les raisons de ces formulations et les résultats de régularité de solutions pour des données dépendant ou non d une distance d un point au bord ou à une partie du bord. Enfin on donnera quelques applications de ces notions de solutions notamment - la fonction de Green pour les opérateurs de bord, pour les problèmes de Neumann, - les problèmes surdéterminés, - la régularité dans les espaces de Sobolev associés aux bmo des solutions problèmes à données singulières dépendant de la fonction distance au bord et enfin - pour les solutions dites larges.
Résumé :